Вот задачку нашел!
Найти формулу для длин сторон прямоугольного треугольника с целыми сторонами (прямоугольного геронового). Они же - пифагоровы тройки.
Часть ответа: c = sqr(m) + sqr(n), a = sqr(m) - sqr(n), b = 2mn, для всех m,n E N, m > n.
(Это для примитивных пифагоровых троек, как то {3, 4, 5} (но вот {6, 8, 10} - это уже не примитивная), но начать лучше с этого)
Интересует красивое и нестандартное решение. =]

Добавлено:
Вот картинку нарисовал:

Как думаете, в здравом уме по силам найти взаимосвязь между этими площадьми и длинами сторон треугольника?

Добавлено:
Очень напрашивается крестик с дыркой. Обозначим его площадь как d. Так вот,
d = 2mn - 2sqr(n) = b + a - c, => c + d = a + b. (Что всегда было очевидно)
Что-нибудь напоминает?
Мне - Брахмагупту.

Кто помнит алгебру???
Такой вопрос - допустим, мы изучаем обыкновенные дроби, и мы их первооткрыватель. Нам требуется ввести операции сложения, умножения, деления и вычитания для дробей, но не просто абы как, а вывести их из аналогичных операций для целых чисел. Можно пользоваться любыми свойствами и аксиомами для целых чисел.
Я так полагаю, что не существует способа ввести эти операции каким-либо другим способом, кроме общеизвестного, при этом не нарушив никаких аксиом рациональных чисел...

Сложение и вычитание попробуй вывести из свойств сложения и вычитания делимых чисел. 2:3 - 1:6, например. ((2:3)х2) - 1:6 = 4:6 - 1:6 = (4-1):6 = 3:6 = 3/6 (в виде дроби).

Хотя, меня немного смущает ((2:3)х2), ибо деление выполняется первым. Я не уверен, можно ли умножать так делимое и делитель на одно число. Хм... Положим ((а:b)x2), будет ли это равно 2a:2b?

А, черт возьми, я не знаю, у меня три по алгебре.

_________________
Following our will and wind
We may just go where no one's been
We'll ride the spiral to the end
We may just go where no one's been

Это провал. В каком классе-то?)
С формальной точки зрения среди всех различных полей вида ZxR дроби - это некоторый класс эквивалентности с фиксированным законом сложения и умножения.
Конкретно, дроби a/b и a'/b' эквивалентны, если a'b=ab'. Кроме того, на каждую операцию необходимо наложить требование ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Помимо всего прочего, необходимо потребовать, чтобы рациональные числа оставались вещественными.

Видимо, это можно сделать единственным способом, но не знаю, существуют ли соответствующие теоремы.)
Мне кажется, что другие способы введения операций будут так или иначе нарущать какие-то из вышеприведенных условий (не обязательно все).

_________________
thrusting squares through circles

:ССССССС

В десятом... :СССС

_________________
Following our will and wind
We may just go where no one's been
We'll ride the spiral to the end
We may just go where no one's been

Кстати! Рекомендую следующую книгу - Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.

_________________
Земля, Земля - я Юпитер!
Зарисовка в стиле AIM - https://www.youtube.com/watch?v=JiWtIz9g3Uw

А общеизвестный что по-твоему делает?

Общеизвестный способ аксиоматически задает операции.
В принципе, я тут уже думал, над этим, и вроде вывел, но единственно что нужно было как-то вывести на целых чисел обоснование вот этого:
a/b/c -> a/(b*c)

Что/как ты вывел? Если ты все расскажешь, может проясниться, о чем ты вообще.

А что тебе непонятно? Вопрос в том, почему операции над рациональными числами и над дробями в такие, какие они есть? Например, почему сложение вводится как a/b+c/d=(ad+bc)/bc,
а не, например (ad+cb)/(b+c). Если операции вводятся аксиоматически, то должен быть способ ввести их иначе, соблюдая аксиомы, например, вот так, как я написал, не нарушает аксиому коммутативности сложения. Если операции не вводятся аксиоматически, они должны неким естественным образом следовать из свойств операций над целыми числами - множеством, которое расширяют дробные числа. Я думаю, имеет место быть второй вариант, и я хочу увидеть вывод.

Ну приведенная формула неправильная, потому что целых чисел может и не получится при d=c=1. Это то, что ты придумал? Или нет?

_________________
thrusting squares through circles

Можно попробовать вывести это дело из представления рац. чисел через бесконечные десятичные дроби, это более, казалось бы, общий подход.

_________________
thrusting squares through circles

К слову, я тут видел теорему, которая утверждает, что все поля рациональных чисел изоморфны. Так что можно, в принципе, не ограничиваться "традиционными" правилами, но в силу этой теоремы ничего нового не получится.

_________________
thrusting squares through circles

Удалено.

Все понятно до "Если сторона Y является произведением двойки на нечетное, Y’ не может существовать. В противном случае, производим аналогичное преобразование и повторяем суждение".
До этого и так очевидно, что если икс, игрек и зет - четные, то всю оригинальную систему можно поделить на восемь.

Да все равно - у тебя здесь есть хитрая подстановка. x = 2n, где n - количество кубиков в одной половине x. Ловкость рук и никакого мошенничества.

_________________
GAMES ARE ONLY FUN IF THEY HURT A LITTLE BIT

В майнкрафт переиграл?

_________________
GAMES ARE ONLY FUN IF THEY HURT A LITTLE BIT

Edit:
Чудь подраскинул мозгами (как же это непросто!) и понял, что мне еще много работы.
К сожалению, мозг не всегда работает рационально, но меня не покидает ощущение, что в этом подходе что-то есть.

Ее нужно не делить, а дополнять.
Алгоритм идет в 1 направлении: задача -> (1/8) задача -> задача.
Кубы в первой и последней принципиально различные (за счет трюка с параллельным переносом, т.к. стенка и наполнение масштабируются по-разному).

Геометрия дает понимание об оболочке, в частности, единичной, что арифметически не очевидно.

Да вот ты как раз из-за своего геометрического подхода и допустил такую логическую петлю со своим n. Аналитический метод последовательнее.

_________________
GAMES ARE ONLY FUN IF THEY HURT A LITTLE BIT

Там была ошибка в начале, так что все построение дальше неверно.
Аналитический метод не построишь на пустом месте. Любое доказательство возможно благодаря очевидности, т.е. своего рода геометрии. (Чем сложнее задача, тем сложнее геометрия)

Вот придумал задачку.

Клеточная абстракция:


(Полости, я полагаю, тоже кубы)

Симметрия связана с работой конкретно вот такого инструмента:


(Справа должны быть зеленые плоскости и синяя линия, но мне было бы геморрно такое рисовать)

Инструмент может работать только в условиях определенного рода симметрии, и тогда наблюдаются картины 1 и 3.

Вопрос: Что за симметрия и почему она обязательна?

Добавлено:
Впрочем, условие задачи далеко от совершенства. ))) Отталкивайтесь от этого.



Добавлено:
Пользоваться можно какими угодно числами: комплексными, кватернионами и пр. (Только не должна нарушаться дискретность в определенном понимании)

Ладно, пока никто не читает..

Вот мои около-размышления на больную голову.

Если число гиперкомплексное, то можно поменять местами мнимое i и мнимое j, и суть уравнения от этого не изменится.
Так же можно поступить и с действительными по отношению к мнимым. Т.е. поменять местами 1 и i, или 1 и j.

Теперь положим, что наш инструмент гиперкомплексный. Зеленые блоки действительны, а синие мнимы.
Исходя из симметричности действительного и мнимого, инструмент не изменит определенным принципам, если поменять цвета местами.

Что может делать инструмент?

Возьмем инструмент и сделаем с его помощью отсечение на произвольном кубе, так что уйдет крестик и 2 мнимых кубика.
Иначе говоря, мы сделали отсечение и запомнили, что должны были отсечь на 2 кубика больше, но их там не было.

Теперь поменяем цвета местами.
В этот раз мы запоминаем, что должны отсечь крестик, а на деле выкалываем 2 кубика.

В чем профит?
Выколоть 2 кубика, не нарушая симметрию куба, невозможно.
(Нужно, например, 6, или 8, или 12)

Это все вилами по воде писано, и тут чудовищные несостыковки, но звучит слишком заманчиво.

Next.
В доказательство того, что несколько отсечений в 2 кубика не могут быть представлены как составное действие, что сохраняет симметрию.
Или, вот как еще скажу, о существовании особенного отсечения, или об интегральном инструменте.

Чуточку усложним работу нашего инструмента, написав такую инструкцию.
1. (Если куб нечетный)
Отсекаем крестик, запоминаем 2 кубика, как в предыдущем посте.
2. Группируем соседние блоки так, чтобы принять 8 блоков за элементарный блок в следующей итерации.

Таким образом, последовательность кубиков, что мы запомнили в ходе многократного использования, будет иметь вид:
1х, 1х, 8х, 8х, 64х, 64х...
(1х, 4х, 16х, ... - для квадрата)

Все составные кубики могут и должны быть расположены симметрично, в то время как элементарные неизбежно ее нарушают.
(В отличие от квадрата, где 1 блок и 1 центр, или куба с 2 полостями, где 2 блока и 2 центра)

Добавлено:
Ах, да...
Частенько, когда я говорю куб, я подразумеваю куб (реальный) с полостью. Т.е. куб, который не существует.
(Но континуальный взор и реальность двумерного аналога позволяют это вообразить, так что здесь ничего страшного)

Вот так:


(Конструкции направлены по-разному, поскольку в разных направлениях может быть разного рода симметрия)

Справа имеем 2 зеркальные картины, каждая аналогична двумерному случаю.

P.S. Стакаю посты, чтоб легче читать.

Теперь чуточку о гипотезе Эйлера.

Как точно известно, эта гипотеза неверна для n = 4, 5.

Стало быть, тривиальное правило "каждой полости по точке" неверно. (Я его и не говорил )
Что, впрочем, не отвергает предположение, что ему подчиняются большинство (возможно, подавляющее) решений.

Т.е. симметрия не так проста! :D

Думаю, абстракции место:


(На самом деле, области могут требовать какой угодно размерности для адекватного изображения, поэтому выводы могут быть другие, хотя я так не думаю)

Каждая наименьшая отображенная область, содержащая точку, является кубом. Таким образом, каждая точка является центром своего куба. (Остальные области не обязаны быть кубами)

Общая идея доказательства состоит в том, что в пространствах разной размерности пучок координат имеет разное число пересечений. Так, в континуальном пространстве размер точки всегда пренебрежим, но в дискретном возникают лишние блоки, которые порой не могут быть размещены. (В этих случаях справедлива теорема Ферма и, возможно, в дальнейшем мы затронем гипотезу Эйлера в больших числах)

Для нечетных кубов чем-то похожим на инструмент может быть мнимая часть от (a + i)^n.

Например:
2D: Im = 2a
(Re = a^2 - 1)


3D: Im = 3a^2 - 1
(Re = a^3 - 3a)
Влом рисовать такое, поэтому объясню.
Здесь все представлено гипер-аналогами - куб с гипер-дыркой (сквозная дырка со всех сторон) и 2 мнимых крестца, находящиеся в гипер-отношении (один является проекцией другого).
Причем любое сечение вдоль или поперек куба с гипер-дыркой - либо Re[(a+i) ^ 2], либо Re[(a+i) ^ 2] - Im[(a+i) ^ 2] (центральное). (Что означает наш инструмент)

При этом
1. во всех случаях мнимая картина не имеет центральной симметрии, и более того может быть разбита на 2 отдельных объекта (инструменты для двумерной и трехмерной работы), каждый из которых центрально-симметричен, т.е. не могут быть преобразованы ни в какой куб (будь то четный или нечетный);
2. в случае n = 2 симметрия действительной картины очевидна, а при n = 3 гипер-дырка дает 2 лишних вычета, как я и предполагал. Единственно возможный вариант, когда волшебная симметрия сохраняется, это разложение сквозного куба на 3 нечетных сквозных куба, так что каждый вычет занимает по центру в дополнительном кубе, в котором уже почти есть сквозное симметричное отверстие (остается выколоть центральный элемент).
Таким образом, симметрия соблюдается только если нечетный сквозной куб представим в виде суммы трех нечетных сквозных кубов. (Что напоминает о тернарной проблеме Гольдбаха)

Но это достаточно кривой пример.

Добавлено:
А вот формула для n итераций:
[(a + i)^3]n = a^3 - 3*4^(n-1)a + i[3*2^(n-1)a^2 - 8^(n-1)]

Наблюдается инфляция блоков, почти как по инструкции.
Только я за раз не отсек, а просто продырявил (заразу отсек).

Короче, провал.
На данном этапе я не могу это осилить.
Я не нашел ни доказательств, ни предпосылок, что куб (гипер)комплексного представляет какое-то разбиение, как это делает квадрат для тройки Пифагора (ну, вы понимаете, действительная часть квадрата, мнимая часть квадрата и квадрат модуля - это тройка).
А формулы для четырех кубов такие сложные, что геометризировать нет смысла. (А по-другому понять некак!)
Может, если меня осенит охрененно , но "просто додуматься" - нереально. Я и так доабстрагировался до абсурда.

Может у кого есть на примете статьи по (квантовой) механике в 2+ временах? Вдруг кто-то находил что-то интересное по этой теме случайно.

_________________
Тысячи часов поиска и все впустую.

Возник тут вопрос: как соотносятся понятия когерентности и монохроматичности? Например, когерентные электромагнитные волны всегда монохроматические? А монохроматические всегда когерентные?
Насколько я лично разобрался, ответ на оба вопроса - нет.
Короче, кто может привести исчерпывающие строгие условия для когерентности электромагнитного поля? Чтобы построить пример поля, которое состоит только из монохроматических волн и при этом не когерентно. Вообще, в википедии какие-то размытые определения для когерентности, там не понятно, например, в каких случаях вообще можно говорить о когерентности. Например, в случае, если время зафиксировано и мы рассматриваем вектора поля в некотором пространстве,можно говорить о когерентности во всех точках? А если, наоборот, время не зафиксировано, а рассматривается одна точка? А если мы рассматриваем некоторое подмножество точек, можно говорить о когерентности для всех сразу? Т.е. вот само поле, может быть когерентно, или это касается некоего набора волн? То-есть, когерентность - это вообще не свойство единого объекта(поля, волны и т.д.), а соотношение между несколькими объектами? Как равенство - это не свойство одного числа(как четность/нечетность, к примеру), а обязательно соотношение двух или более чисел.
Короче, у нас тут вроде есть люди с В.О. помогите разобраться, а то я свое В.О. уже забыл...

Монохроматичность - свойство "единого объекта", как, например, данного [потока] света.
Когерентность - отношение между объектами, например, двумя осцилляторами.

Монохроматичность предполагает совпадение частот колебаний, когерентность требует еще и совпадения фаз колебаний. По-моему, так.

_________________
Тысячи часов поиска и все впустую.

Как-то наш лектор по термеху сказал, что люди, занимающиеся многомерным временем - больные ублюдки и их надо вешать.) Ну, не так, конечно, но суть такова.

Их не существует, поскольку когерентность - это довольно-таки растяжимое понятие. Его можно определить через соответствующие масштабы времени и пространства и разность фаз колебаний отношениями порядка. Не вдаваясь в подробности, если на масштабе dxi (i=0..3) разность фаз колебаний не превышает aπ, где 0<a<=1, то колебания называются когерентными (можно говорить об хорошей когерентности, если a->0, об ее отсутствии, если a>1 и т.д.). Из упомянутого слова "масштаб" растут понятия длины когерентности - геометрического масштаба и времени когерентности - временного масштаба.
Понятно, что имеются ввиду те самые фазы, которые, например, в осцилляторе просто φ(t)=ωt + φ_o.
Т.е. из условия, например, φ2(t) - φ1(t) = (ω2(t) - ω1(t)) t + (φo2(t) - φo1(t)) < π можно извлечь ответы на твои вопросы:
1. Если пучок света монохроматический и имеет малый разброс начальной фазы - он таки когерентный. Если разброс произвольный, то это, вообще говоря, не верно.
2. Если пучок когерентен, значит, частоты и начальные фазы должны быть близки.
Это если говорить о самом простом случае массива каких-нибудь колебаторов.

В случае с реальным э/м полем определение не меняется - меняется только понятие фазы волн.

_________________
thrusting squares through circles