Это не верно, это не тождество.

Что именно? (1), (1'), (1'')?
А вообще там почти все неверно.

Добавлено спустя 48 секунд:

А, понял. Да, бред полный.

Ну, мне кажется, что достаточно двух названных условий, причем пи и е можно заменить произвольными числами, удовлетворяющими данным условиям.

Ну, смотри:

1 < 2 < 3
2³ < 3² (8 < 9)

1 < 3 < 4
3⁴ > 4³ (81 > 64)

[code]У меня работает.[/code]

Добавлено спустя 12 секунд:

Ахаха. Облом.

Во. Показывает истиность выражения a^b > b^a.

Добавлено спустя 59 секунд:

Интересная точка - наверняка е!

1 < a < b
a^b > b^a
a^b > a^alog_ab
a^{b / log_ab} < a^a
a^blog_ba < a^a
blog_ba < a
log_ab < b / a
Походу это мы и видим на графике.

Кривая на графике - это, возможно, даже не элементарная функция.

Добавлено спустя 5 минут 56 секунд:

Там используется W-функция Ламберта. Через нее можно выразить одну переменную, через другую.

Нефига.
Достаточно вот этого:
log_ab < b / a (1 < a < b, a^b < b^a)
Сделаем для наглядности замену b = a^t, t > 1. Тогда
alog_aa^t < a^t => at < a^t
Что это значит: at - прямая, a^t - показательная функция, значит, условию будут удовлетворять все такие точки (a, b), что
1) выше прямой и выше графика показательной функции;
2) ниже прямой и ниже графика показательной функции.

Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд:

Ну, другое дело, что прямая показательная функция на графике будет немного другими чем те, что я написал, но суть примерно та же.

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

Короче, я снова написал полную хрень, но суть передал.

Ты упал штоле? Какая же это показательная функция?? Показательная функция в нуле дает всегда единицу, или, по крайней мере, константу, а у этой, судя по всем, вообще нет пересечений с осями.

А что, она не может быть смещенной?

Куда и насколько??? Тогда у ней должно быть по крайней мере одно пересечение с осями, то-есть при нулевом, допустим, a должно существовать такое b, что
a^b = b^a.

Конечно же нету, там две асимптоты.
Еще раз тебе говорю, что
alog_ab < b
Если мы будем исследовать функцию b(a), то запишем, что:
a / log_ba < b(a)
Вертикальная асимптота получается потому, что 1 / log_ba -> ∞ (a -> 1). Аналогично горизонтальная.
А отсечения слева и справа получаются из условия a < b.

Добавлено спустя 4 минуты 13 секунд:

Ну, кривая эта будет, конечно, не график показательной функции, а логарифмической в степени -1, хотя, как по мне, характера кривой это особенно не меняет (вот если бы я сказал, что здесь будет арктангенс, я бы маханул серьезнее), ну, и еще вдобавок растягивающийся по высоте по мере роста a.

Ну и причем тут тогда показательная функция? И вообще, а чего это ты в самом начале взял, да принял a^b > b^a, а не наоборот или вообще не равно???

Добавлено спустя 43 секунды:


Ну так так бы сразу и сказал. Хотя, к логарифму эта линия тоже отношения никакого не имеет, на самом деле. Потому, что логарифм от 1 всегда 0, а в степени -1 это был бы разрыв, тогда как на самом деле ничего такого не наблюдается.

Как причем?
Наша кривая - это обратная к показательной функция в минус-первой степени, помноженная на аргумент.
А вообще я в школе учился, меня графикам научили, просто я сейчас очень туплю в своих рассуждениях, и потому трудно понять, где правда, а где хрень.)
Можно и наоборот.

Думаю, надо брать равно и исследовать эти линии. А Для конкретно случая пи и е нужно воспользоваться тупо фактом, что линии в е пересекаются. Хотя, существование этого факта, по-хорошему, нам еще как-то надо доказать.

А ты присмотрись: для нижней части выполняется условие a > b, а то, что я исследовал, это a < b, т. е. верхняя часть. Для верхней части разрыв будет сверху, для нижней - справа. То, что на рисунке - это совокупность случая, рассмотренного мной, и случая, рассматриваемого аналогично рассмотренному.

Ладно, позырю, может быть А ты пока позырь на решение.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^y%3Dy^x

При а<b? Это неверно. Логарифм будет больше единицы.

_________________
thrusting squares through circles

Правда, я сам слепой. Там же еще основание логарифма меняется.)))

Добавлено спустя 20 секунд:

Я уже исправил. Там была опечатка.

Добавлено спустя 6 минут 3 секунды:

Что-то мое неравенство оно даже рисовать не хочет.
Computation timed out.)

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

По-моему очевидно, что график будет идентичен.)

Ну и? То же самое. При стремлении x(a в твоем случае) функция стремится к единице. Стало быть, нет ни разрыва, не пересечения с осями.

Добавлено спустя 34 минуты 58 секунд:

Попробовал другой метод, получилось, что е^pi больше. Основная суть - представить пи как е+а, и привести выражение
e^(e+a) v (e+a)^е

к виду

x v ln(1+x)

Тогда, так как такой логарифм везде меньше тождественной функции(кроме точки 0, где равны), получаем знак ">".

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

Сейчас посчитал еще на калькуляторе - оказывается, что е^pi > pi^e менее чем на единицу!!!

Добавлено спустя 11 минут 17 секунд:


Конкретно выглядит так:

(pi-e)/e v ln(1 + (pi-e)/e)

Добавлено спустя 15 минут 30 секунд:

Эээ, ну куда все делись???

2 Razum
Да, кстати, неплохой вариант.
Я рассматривал функцию y=exp(x-eln(x)) и искал ее экстремум, а потом сравненивал эту функцию с единицей.

_________________
thrusting squares through circles

Как пишется доказательство для пределов стремящихся к бесконечности? Вот например для этого:



Типа существует , или для этого не так можт.

В общем кому не сложно
Можт и фигню спрашиваю, но вот не втыкаю).

Ну, способ доказательства не единственен. Можно доказывать при помощи необходимых/достаточных условий, критерия Коши, исходя из определения предела, используя правила Лопиталя... Куча всего.

К тому же пределы бывают разные - у множеств есть предельные точки, есть пределы последовательностей, пределы функций, да вообще бывает много разных пределов(односторонние, например).

У тебя, судя по всему, предел числовой последовательности. Определение там такое: число a называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого e>0 существут номер N(зависящий от e) такой, что любой x_n при n>=N удовлетворяет условию:
|x_n - a| < e.

Добавлено спустя 6 минут 54 секунды:

Если доказываешь через определение, то ты должен найти такой номер, как функцию от e, чтобы при подстановке этой функции в последнее выражение условие выполнялось. Точнее, так делают, если последовательность монотонная, типа, говорим, что вот начиная с найденного номера все члены последовательности больше или меньше члена с указанным номером, стало быть для всех них, начиная с указанного номера, условие выполняется и число а, исходя из определения, является пределом.

Добавлено спустя 2 минуты:

Если предел заранее неизвестен, то очень помогает критерий Коши, который устанавливает необходимое и достаточное условия для сходимости последовательности.

Добавлено спустя 7 минут 11 секунд:

Ах, да, у тебя там написан предел, стремящийся к константе. Если нужно определение предела, стремящегося в бесконечность, то эпсилон заменяется, например, на А, а последнее условие на такое:
|x_n| > A.

Вот существует … - для них, да?)

Спасибо!

2 DrAKoN
Да, для них. Числовые оперирую номерами, у функций нужна дельта для ограничения интервала.

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

На самом деле эта дельта - ограничитель метрики.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Ну че, полную задачу бы написал, нам надо мозги размять. А то все танчики, да танчики, да, Валькен?

Как? n ведь стремится в бесконечность? Или ты a имеешь ввиду?

Для последовательностей n всегда стремится в бесконечность, прочее не интересно. Интереснее, куда стремится при этом энный член.

Добавлено спустя 1 минуту 14 секунд:

Если бы для последовательностей n стремилось к константе, то предел бы находился тупо взятием n-ного члена.

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Если у тебя предел функции, то пиши не так, а так:
lim f(x) при x->бесконечности(константе). Ну, это я так написал, чтобы с форматированием не заморачиваться, а как написать красиво ты, надеюсь, понел.

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

Кстати, вот если есть последовательность числовых последовательностей, как найти предел пределов ее членов, не находя каждый из них?